【点到平面的距离公式立体几何】在立体几何中，点到平面的距离是一个重要的概念，广泛应用于空间解析几何、工程计算和物理建模等领域。该距离的计算方法基于向量与平面方程的关系，能够帮助我们快速判断一个点与平面之间的相对位置。

一、基本概念

- 点：空间中的一个坐标点，记作 $ P(x_0, y_0, z_0) $

- 平面：由一般式表示为 $ Ax + By + Cz + D = 0 $，其中 $ A, B, C $ 是平面法向量的分量

- 点到平面的距离：从点 $ P $ 到平面的最短距离，即垂直距离

二、点到平面的距离公式

点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 到平面 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 的距离 $ d $ 计算公式为：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

其中：

- $ A, B, C $ 是平面的法向量

- 分母是法向量的模长，用于归一化计算

- 绝对值确保结果为非负数

三、公式推导简述

1. 设平面上任一点为 $ Q(x_1, y_1, z_1) $，则向量 $ \vec{PQ} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0) $

2. 平面的法向量为 $ \vec{n} = (A, B, C) $

3. 点到平面的距离等于向量 $ \vec{PQ} $ 在法向量方向上的投影长度

4. 投影长度为 $ \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{\vec{n}} $

5. 代入并简化后得到上述公式

四、总结表格

五、注意事项

- 若点位于平面上，则距离为 0

- 公式适用于任意平面，无论其是否经过原点

- 若已知平面的点法式或参数式，需先转换为标准形式再应用公式

通过理解点到平面的距离公式，可以更深入地掌握空间几何的基本性质，并为后续学习线面关系、多面体体积等问题打下坚实基础。